破碎砝码的妙用_数学知识百科

破碎砝码的妙用

一个商人不慎将一个重40磅的砝码跌落在地面上碎成4块，恰巧每块都是整数磅，后来他又意外发现，可以用这4块碎片做成可以称1到40磅的任意整数磅的重物的新砝码。请你猜一猜，这4块碎片的重量各是多少？

这就是着名的德`梅齐里亚克的砝码问题。这位法国数学家采用“迂回进击”的战术，使问题得到解决。

他是这样演绎的：

首先说明一个结论：如果有一系列砝码，把它们适当地分放在天平的两个托盘上，能称出1到n的所有整数磅重物（这时这些砝码重量的和也一定为n磅）。另设有一块砝码，它的重量为m磅（m=2n+1），那么原来所有的砝码再加砝码m所组成的砝码组便能称出从1到3n+1的所有整数磅的重物。

因为，原砝码组可称出重量1到n的所有整数磅重物。而原砝码组与重量为m磅的砝码可以秤n+1到2n+1磅的所有整数磅重物。

由此可判定这4块砝码的重量：

第一块砝码取m1=1（磅）

第二块砝码取m2=2×1+1=3（磅）

第三块砝码取m3=2（1+3）+1=9（磅）

第四块砝码取m4=2（1+3+9）+1=27（磅）

用这4块砝码可秤从1到（1+3+9+27）=40磅间的任何一个整数磅重物。