国王给大臣们出的难题_数学知识百科

国王给大臣们出的难题

据传古代欧洲有位国王，一天他非常高兴，便给大臣们出了一道数学题，并许诺谁先解出了这道题便予重赏。他说：“一个自然数，它的一半是一个完全平方数，它的三分之一是一个完全立方数，它的五分之一是某个自然数的五次方，这个数最小是多少？”

有位大臣的儿子十分聪明，第二天他就替父亲解出了这道题。

满足上述条件的数，必然是2，3，5的倍数，其最小值可以表为N=2a`3b`5c（其中a、b、c为自然数。）由于是完全平方数，所以2a-1 3b5c是完全平方数：那么a-1必为偶数，即a为奇数；b、c也必须是偶数，由于是完全立方数，那么b-1就为3的倍数，即b为被3除余1的数，如1，4，7，10，13，……等等；同理c是被5除余1的数，即1，6，11，16，21，……等等；此外还要满足条件：a与b都是5的倍数，a与c都是3的倍数。

综上所述，a是能被3和5整除的奇数，即a的最小值为15；b是能被5整除被3除余1的偶数，即b的最小值为10；c是被3整除被5除余1的偶数，即c的最小值为6。那么：

N=215`310`56=302330880000。