对非自由质点系的运动预加的几何学或运动学的限制。在力学中,同约束有关的知识有三个内容,即约束力、约束方程和理想约束。

约束力  约束作用于非自由质点系的力称为约束力。约束力的方向总是与约束所阻碍的运动方向相反。常见的约束力类型见表1。约束力的大小是未知的,取决于非自由质点系的运动状态和作用于非自由质点系的其他力,应通过力学定律(如运动微分方程)确定。例如,火车受到钢轨的约束,不论运动的起始条件和火车所受的推力如何,行驶中的火车(在几何上)总是沿着预定的曲线轨道运动。钢轨迫使火车按预定曲线运动的力就是约束力,其大小取决于火车所受的其他力和火车的速度、加速度。又如,长为l的细刚杆(重量可忽略)的一端连以小球,另一端O以球铰链悬挂而组成球面摆。小球受刚杆约束,而在重力和刚杆所加约束力作用下,以O点为中心,作半径为l的球面运动。刚杆加于小球的约束力的大小,取决于小球所受的重力和速度(速度决定向心加速度的大小)。

约束方程  约束条件的数学表示式。在分析力学中,利用约束方程就可消去与其数目相等的变数,有利于解题。约束可分“单面约束”和“双面约束”,前者的约束条件用不等式表示,后者用方程表示。例如,被约束于物面上的质点和用不能伸长的细线悬挂的质点,它们所受的都是单面约束。前者可自约束面的一侧脱离,向另一侧的运动则受到限制;后者用长为l的细线悬挂于定点作单摆,质点与悬点间的距离不能大于l,但可小于l。所以约束条件为:

x+y+z-l≤0。

双面约束的质点不能自约束面的任何一侧脱离约束。例如,以长为l的细刚性杆代替上例中的细线,就属于“双面约束”。约束条件可写作:

x+y+z-l=0。(1)

处理单面约束的方法是,当质点在约束面上时,单面约束可当作双面约束用方程式表示;当它已脱离时,可当做自由质点。

约束方程可按所含变数定名为几何约束、含时几何约束和运动约束。

几何约束  约束方程只包含质点系中质点的坐标,如式(1)。设质点系含n个质点,将它们的3n个坐标用统一符号表示为xx,…,x,则几何约束可写作:

f(xx,…,x)=0。(2)

含时几何约束  约束方程除包含坐标以外,尚包含时间t,可写作:

f(xx,…,x;t)=0。(3)

式(2)可看成式(3)的特例,两者都属于有限约束。

运动约束  约束方程包含质点的速度。它的通式可写作:

f(xx,…,x;,…,;t)=0。(4)

一般分析力学著作中只限于讨论约束方程是速度的线性式,其通式可写作:

(5)

式中AA可为x,…,xt的函数。如果式(4)可积分,就能变成形如式(3)的方程。式(5)又可写作:

(6)

所以运动约束又称微分约束。

约束方程的类型取决于力学系统的类型(表2)。

理想约束  又称不作功约束,指质点系所有约束力对其作用点的虚位移(δr)所作的功的和为零的约束。如车轮、球体、柱体等物体在另一固定粗糙面上作纯滚动,因接触面没有位移,所以通过接触点的约束力不作功。这类约束就属于理想约束。假定作用于质点系中的质点m上的约束力为N,作用点的虚位移是δr,则理想约束可用数学式表示为:

常见的理想约束有:①质点在固定光滑曲面或光滑曲线上的约束;②连接两个物体的光滑铰链的约束;③用细刚杆连接两个质点,使两者距离保持不变的约束。对于定常约束,因虚位移和可能位移(dr)的约束方程形式相同,所以对可能位移不作功的约束力对虚位移也不作功,例如上述中①类的约束。对于非定常约束则不然,例如一个质点被约束在运动着的光滑曲面上,其约束方程为:

f(xyzt)=0。

虚位移式为:

;(7)

可能位移式为:

。(8)

因光滑曲面对质点的约束力N沿曲面的法线,所以它的三个分量NNN满足:

将上式代入(7)和(8)分别得:

Nδx+Nδy+Nδz=0

上两式左边分别表示约束力经虚位移δr和可能位移dr所作的功。显然,约束力对虚位移所作的功为零;而对可能位移所作的功不为零。

约束力与虚位移或可能位移之间的矢量关系如图所示。从图中可以看出δrN,故N·δr=0;而N·drNdrcosθ0。

在分析力学中,处理约束系统的力学问题,全靠理想约束这个前提条件使问题简化。

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