强度取有限值的涡管元(见涡旋),又称线涡。在工程实际中,涡旋大多分布在一定的体积内。设强度分布函数为Ω(xyzt),则体积元dτ内的涡旋强度为Ωdτ。但有时涡旋也可能集中在很细的一根涡管上,其管径远小于问题的特征尺度。此时可近似地将此涡管看成是几何上的一条线,故称为涡丝。设涡丝的强度为Γ,当涡丝的截面积σ趋于零时,涡量的大小Ω必须趋于无穷大并使涡通量σΩ保持为有限值Γ。考虑面积为σ,长为dl的体积dτ,则下式成立:

ΩdτΩσdl=Γdl(1)

式中dl是线段元矢量,大小为dl,方向与涡旋矢量重合。给定体积τ内的涡旋场,则它所诱导的速度场由下式确定:

(2)

式中。将式(1)代入便得一段涡丝元所诱导的速度:

。(3)

式(3)称为毕奥-萨伐尔公式。它指出,曲线涡丝段dl所诱导的速度dv,其方向垂直于dlr,大小则与距离r的平方成反比,而且同dl和dlr的夹角的正弦成正比。

从式(3)可导出下述重要结果:

①无限长直线涡丝 此时,这里取z轴与直线涡丝相重合的柱坐标系(rz),方向的单位矢量。可见,速度在z方向的分量等于零,且平行z轴的直线上各点的速度完全相同。因此直线涡丝诱导的是流体的平面运动。此时只需要考虑一个垂直于z轴的平面即可。涡丝在此平面上表现为一个点涡。因此,直线涡丝产生的速度场也可看成平面上的点涡所感应的速度场。直线涡丝没有自感,所以涡丝本身静止不动。

②圆形涡丝 取柱坐标,涡丝所在平面为(r)平面,z轴通过圆心O。此时=×A,其中A=0,A=0,

式中a是圆形涡丝的半径;;K(k)和E(k)是以k为模数的第一类和第二类完全椭圆积分。常曲率的圆形涡丝在自身诱导下沿着z轴方向以常速运动。在运动过程中涡丝不断变形。理论揭示涡丝的运动速度为无限大。实际问题中,涡管总是有限粗的,所以自感引起的涡管运动速度也是有限的。

②一般的曲线涡丝 由于自身诱导作用,变曲率曲线涡丝将在流体中运动,并在运动过程中不断改变自己的形状。

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