张量

张量理论是数学的一个分支学科，在力学中有重要应用。张量这一术语起源于力学，它最初是用来表示弹性介质中各点应力状态的，后来张量理论发展成为力学和物理学的一个有力的数学工具。张量之所以重要，在于它可以满足一切物理定律必须与坐标系的选择无关的特性。张量概念是矢量概念的推广，矢量是一阶张量。了解张量必须先知道张量的两项规定，即求和约定和张量指标。

①求和约定 指在给定的项中凡有一上和一下两个相同的指标就表示对该指标从1到空间维数N求和。例如，在三维空间中，。

②张量指标 包括哑指标和自由指标。哑指标是指各项中一上和一下成对的相同指标。例如，上式中的指标i就是哑指标。自由指标是指在方程的所有项中只出现一次的指标。

张量定义  有两种形式：

①按变换规律定义：若一坐标系｛｝中个量与另一坐标系｛｝中个量间满足变换规律

则称为r阶逆变和s阶协变混合张量的分量。若s＝0，则称为r阶逆变张量的分量。若r＝0，则称为s阶协变张量的分量。上述这种张量记法称为分量记法。

②按不变性定义 凡可以在任何坐标系中写成下列不变性形式的量定义为r+s阶张量：

式中g(g)和g(g)分别为坐标系{x}和坐标系{x}中的协(逆)变基矢量。上述这种张量记法称为不变性记法或并矢记法。

张量代数的基本运算  主要有下述七种运算：

①加(减)法 两个或多个同阶同型张量之和(差)仍是与它们同阶同型的张量。

②并积 两个张量的并积是一个阶数等于原来两个张量阶数之和的新张量。

③缩并 使张量的一个上标和一个下标相同的运算，其结果是一个比原来张量低二阶的新张量。

④点积 两个张量之间并积和缩并的联合运算。例如，在极分解定理中，三个二阶张量、和中一次点积.和.的结果是二阶张量。

⑤对称化和反称化 对已给张量的n个指标进行n!不同置换并取所得的n!个新张量的算术平均值的运算称为对称化。把指标经过奇次置换的新张量取反符号后再求算术平均值的运算称为反称化。

⑥加法分解 任意二阶张量可以唯一地分解为对称部分和反称部分之和。例如，速度梯率L可以分解为

其中D和W分别为L的对称和反称部分，即

。

⑦商法则 肯定某些量的张量性的法则。

特殊张量  主要有四种：

①度量张量 两个基矢量点积的结果。g=g·g和g=g·g分别称为协变和逆变度量张量，而混合度量张量g=g·g=δ，这里δ(或写为δ)为克罗内克符号，它定义为：

②交错张量或爱丁顿张量 可定义为

，

这里表示元素为g的行列式，而置换符号表示

③转置张量 对任意二阶张量＝Lgg的分量指标置换的结果，记为=Lgg。

④正交张量 保持映象长度不变的二阶张量。

克里斯托费尔符号  第一类和第二类克里斯托费尔符号分别定义为：

和

协变导数  协变矢量T和逆变矢量T关于x的协变导数分别定义为：

和

上列结果可以推广到高阶张量的协变导数。

不变性微分算符  推广矢量分析概念，对于任意张量场T有四种不变性微分算符，即梯度，散度.，旋度×和拉普拉斯算符。

在直角坐标系下，协变和逆变间的差别消失，故可规定所有指标均写成下标；另外，由于克里斯托费尔符号为零，所以协变导数变成为普通偏导数。