理论力学基础-4.3自由度与广义坐标、广义力

第三节 自由度与广义坐标、广义力

一、自由度
    一个自由质点在空间的位置，需用三个独立坐标来确定，我们说该自由质点在空间有三个自由度。设由n个质点组成的质点系，其中每个质点都是自由的涸蛉范ǜ弥实阆滴恢玫3n个坐标都是独立的，我们说该质点系具有3n个自由度。
    对一个非自由质点系来说，由于受到约束，质点系中各质点的位置坐标将满足一定的约束条件而不是完全独立的。例如图4-11所示的双锤摆，设只在铅直平面内摆动，摆锤A和B的位置的四个坐标x1、y1、x2、y2，由约束方程： , 建立了联系，所以确定摆锤A和B位置的坐标，只有两个坐标是独立的，我们说摆锤A和B具有二个自由度。为了进一步分析问题的需要，下面将简单介绍约束方程的概念，给出更严密的关于自由度的定义，并引入广义坐标的概念。

图4-11

    具有n个质点的质点系，其中质点i的坐标以xi、yi、zi 表示，以  /示坐标对时间的一阶导数，则对此质点系一般形式的约束方程为（j=1，2，3，…，s）即此质点系具有s个约束方程，约束可以对质点的位置及其运动速度都有限制。而且约束条件可以随时间而变化，而含有时间t。如果其约束条件可以写成不含坐标导数  的约束方程形式 （j=1，2，3，…，s）。这种约束称为完整约束。如果质点系的全部约束都是完整约束，则此质点系称为完整系统。如果约束方程中不显含时间变量t，则此约束称为稳定约束（或定常约束）。如图4-12a中直线滑道对滑块的约束方程为y=0；图4-12b中以细杆连接的质点在平5内的约束方程为  ；图4-12c中，在固定曲面上运动的质点M的约束方程也就是此固定曲面的曲面方程 。

图4-12

    上述这些约束方程都与时间无关，均为稳定约束。工程中的约束多数是稳定的完整约束。在完整约束条件下，确定质点系位置的独立参数的数目等于系统的自由度数。
例如图4-13中的曲柄连杆机构，四个坐标xA、yA、xB 和yB，要满足以下三个方程式：， ，  只有一个独立坐标，故此系统只有一个自由度。

图4-13

二、广义坐标和广义力
   有时用直角坐标来表示质点系的位置比较麻烦，而用其它参数表示则较为方便。例如图4-13的曲柄连杆a构，如选曲柄OA对x轴的转角φ为独立变量，则各质点的直角坐标可表示为φ的单值连续函数：

    这样可以很方便并且唯一地确定了质点系的位置a唯一地确定质点系位置的独立变量，称为广义坐标。上面曲柄连杆机构中的角φ是广义坐标。显然，广义坐标的数目等于确定质点系位置的独立变量的数目。在完整约束的情形下，质点系的广义坐标的数目等于自由度数。
设n个质点组成一非自由质点系，受到s个稳定完整约束，有k=3n－s个自由度，选N个广义坐标q1、q2，…，qn 可确定质点系的位置。对于选定的直角坐标系，各质点的坐标可以写成如下的广义坐标的函数形式：

（i=1，2，…，n） (4-5)

    对上式进行变分运算得

（i=1，2，…，n） (4-6)

    式中  称为广义虚位移，上式表明，质点系的虚位移都可以用质点系的广义虚位移表示。将式（4-6）代入虚位移原理表示的系统的平衡条件式（4-4）


令  （4-7）
则 （4-8）
    式中各广义坐标前的系数 称为对应于广义坐标qk的广义力。由于广义虚位移 是任意给定的，故 前的系数都分别等于零，即

（k=1，2，…，N） （4-9）

    故具有理想约束的系统，平衡的充要条件为：对应于每一广义坐标的广义力都等于零。这就是以广义坐标表示的系统的平衡条件。
    关于广义力的求法，常常并不需要按公式（4-9）进行，而只要从虚功概念出发就可直接求出广义力，注意到广义坐标q1、q2，…，qn 是完全独立的，因此，可取一组特殊的虚位移，只令广义坐标中的q1变更，而保持其余（N-1）个广义坐标不变，即令 ≠0，而  ，这样就可求出所有主动力相应于虚位移  所作的虚功之和，并以  表示，所以有

由此求得 
    用同样的方法可求出  。要注意广义力与广义虚位移之积为虚功，当的量纲是长度时，广义力 的量纲就是力的量纲；而当 为角度时， p量纲就是力矩量纲。

例4-7 在图4-14所示曲柄连杆机构中，已知曲柄OA上作用一力偶矩M，曲柄长OA=r，连杆长AB=l，试求机构保持平衡时作用于滑块上的力F和曲柄转角φ之间的关系，各处摩擦和各构件重量皆忽略不计。

图4-14

【解】
    前已分析，该机构只有一个自由度，取曲柄的转角φ为广义坐标，取滑块B的坐标xB可用广义坐标φ表示如下：


    而广义虚位移 与滑块B相应产生的虚位移  之间的关系可由上式变分求得，即

    机构上所有主动力在虚位移中所作的虚功之和为

    对应于广义坐标φ的广义力为

    由平衡条件  可解得

    例4-8 图4-15所示双摆A、B分别重G1、G2，摆杆长OA=l1，AB=l2，用铰链相连并悬挂在O点，各杆重量不计，今在B点沿水平方向作用一已知力F，且G1、G2、F三力都在同一平面内，试求系统平衡时两摆杆与铅垂线的夹角φ1和φ2各为多少。

图4-15

【解】
    前已分析，该系统具有两个自由度，分别取摆杆与铅锤线的夹角φ1，φ2 为广义坐标，则对应的广义虚位移为  ，  ，先求对应于广义坐标φ1，φ2的广义力 和。
令  ，  ，此时系统的虚位移如图4-15a中虚线所示，图中A1B1//AB， ，则系统中所有主动力的虚功之和为


    故对应于广义坐标φ1的广义力

    同样，令  ，  ，此时系统的虚位移如图4-15b中虚线所示，且 ，则系统中所有主动力的虚功和为

    故对应于广义坐标φ2 的广义力为

    根据系统的平衡条件  ，可解得

   本题亦可用式（4-7）来计算广义力，结果完全相同，建议自行计算。