理论力学基础-5.2点的速度和加速度

第二节 点的速度和加速度

    动点运动的快慢和方向用速度表示，速度的变化情况则用加速度表示。下面给出在各坐标系下，速度、加速度的数学表达式。

一、用矢量法表示点的速度和加速度
   如动点矢量形式的运动方程为r=r(t) ，则动点的速度定义为

（5-5）

    即动点的速度等于动点的矢径r对时间的一导数。速度是矢量，方向沿r矢端曲线的切线，指向动点前进的方向，如图5-4所示；大小为|v|,它表明点运动的快慢，其量纲为LT-1，在国际单位制中，速度的单位为m/s。
动点的加速度定义为

(5-6)

    即动点的加速度等于该点的速度对时间的一阶导数，或等于矢径对时间的二阶导数。
    加速度也是矢量，其量纲为LT-2，在国际单位制中，加速度的单位为m/s2。
    有时为了方0，在字母上方加"˙"表示该量对时间的一阶导数，加"¨"表示该量对时间的二阶导数。因此式（5-5）和式（5-6）亦可写为  和 。

二、用直角坐标法表示点的速度和加速度
因 
    将上式对时间求一阶导数，并注意到i 、j 、k 为大小、方向都不变的常矢量，则

(5-7)

    设动点M的速度矢v在直角坐标轴上的投影为vx、vy、vz，则

(5-8)

    比较式（5-7）和式（5-8），得到

(5-9)

    即 速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的一阶导数。求得vx、vy、vz后，速度v的大小和方向就可由它的三个投影完全确定。 
    同样，设  (5-10)
可得

(5-11)

即 加速度在各坐标轴上的投影等于动点的各速度的投影对时间的一阶导数，或各对应坐标对时间的二阶导数。加速度a的大小和方向亦可由它的0个投影完全确定。

三、用自然法表示点的速度和加速度
1. 自然轴系
    为了用自然法表示点的速度和加速度，需建立和点的轨迹曲线形状有关的自然轴系。请看图

图5-5

2. 点的速度
    将矢径r表示为弧坐标的函数，即

(5-12)

    由速度的定义，得

式中  (5-13)

    由图5-6可知，此极限的模等于1，方向沿点M处轨迹切线且指向s的正向，因此，它与τ相同。于是，可得用自然法表示的速度公式

(5-14)
式中 (5-15)

    v是一个代数量，它是速度v在切线上的投影。速度的代数值等于弧坐标w时间的一阶导数。v为正，v的方向和τ一致；v为负，v的方向和τ 相反。

图5-6

3. 点的加速度
    将式（5-14）对时间求导，得

(5-16)

    式（5-16）表明，加速度a可分为两个分量。第一个分量 是反映速度大小变化情况的加速度，记为  ；第二个分量 是反映速度方向变化的加速度，记为  。下面分别求它们的大小和方向。

(1)反映速度大小变化的切向加速度 
因为 (5-17)
    方向沿轨迹切线，因此称为切向加速度。
"  (5-18) 
是加速度矢量a在切线方向的投影，它是一个代数量。 为正， 的方向和τ一致，否则相反。当与v同号时， 与v同向，点作加速运动。 与v异号， 与v反向，点作减速运动。
因此，切向加速度反映速度的大小随时间的变化率，它的代数值等于速度的代数值对时间的一阶导数，或等于弧坐标对时间的二阶导数，它的方向沿轨迹切线。

(2) 反映速度方向变化的法向加速度 
因为 (5-19)
它反映了速度方向的变化。上式可改写为

(5-20)

    下面分析该极限的大小和方向。当  时，  ，由图5-7可知

所以 
于是 

图5-7

由图5-7可见，当Δs为正且→0时，  的方向与点M处的主法线方向相同。Δs为负值时也是这样。所以

(5-21)

    将式(5-21)代入式(5-20)得  (5-22)
    由此可见，  的方向和主法线的正向一致，称为法向加速度。法向加速度反映点的速度方向改变的快慢程度，它的大小等于速度的平方除以曲率半径，方向沿着主法线，指向曲率中心。
将式（5-17）和式(5-22)代入式(5-16)，得动点加速度的自然法o示公式

(5-23)

    a在副法线方向的投影为零，由 o 可求得加速度a的大小和方向。其大小

(5-24)

    o速度和主法线所夹的锐角的正切

(5-25)

如图5-8所示。

图5-8

    从上节讨论可知，如已知动点的运动方程，可通过求导运算求得点的速度和加速度；如已知点的加速度方程，可通过积分求出运动方程和速度。
    例如，点作曲线运动，已知自然坐标形式的加速4方程，初瞬时t=0时，v = v0，s = s0，则可将式（5-18）两边积分，得

(5-26)

    再积分一次，得

(5-27)

    当 ＝常数，即点作匀变速运动时，有

(5-28)