理论力学基础-12.6动力学普遍定理的综合应用

第六节 动力学普遍定理的综合应用

    动力学普遍定理包括动量定理、动量矩定理和动能定理。它们从不同侧面阐明了物体机械运动的规律，用不同的物理量反映了质点或质点系运动的改变和作用力的关系，在求解动力学两类问题 ，各有其特点。

    动量定理（或质心运动定理）建立了动量的变化（或质心运动的变化）与外力系主矢的关系。它涉及到速度、时间和外力三种量。对于用时间表示的运动过程，通常使用动量定理求解。特别是已知运动求约束反力的问题，必须用动量定理（或质心运动定理）求解。

    动量矩定理建立了质点系动量矩的变化与外力系主矩的关系。当质点系绕轴运动时，可考虑使用动量矩定理求解。如果已知运动，则可使用动量矩定理求解作用线不通过转轴的力。如果已知外力矩，则可使用动量矩定理求解质点系绕轴（或点）的运动。

    动能定理建立了质点系动能的变化与力的功的关系。它涉及到速度、路程和力三种量。对于用路程表示的运动过程，当已知力求质点系运动的速度（或角速度）、加速度（或角加速度）时，通常使用动能定理求解较为方便。

    此外还要注意各定理的守恒条件。通过守恒定理直接列出运动量之间的关系。

    在领会各定理的特征的同时，还要学会针对具体问题进行受力分析和运动分析，弄清楚问题的性质和条件，再结合各定理所反映焦媛桑来选择适用的定理。

下    面通过具体问题来说明普遍定理的综合应用。

    例12-7 图12-19a所示铰车鼓轮的半径为r，重为G1，重心与轴承O的中心相重合，在其上作用一力偶矩为M的常力偶，使半径为R，重为G2的滚子焦穆趾凸鲎泳视为均质圆盘）沿倾角为斜面由静止开始向上作纯滚动。设绳子不能伸长且不计质量，求鼓轮由静止开始转过角φ时，滚子质心C的速度、加速度、绳子的拉力和轴承O处约束力。

图12-19

【解】

(1) 取整个系统为研究对象，应用动能定理求滚子质心C的速度、加速度。
系统初始瞬时的动能

    系统终止瞬时的动能

    式中vC为滚子质心C的速度， 分别为滚子和鼓轮的角速度。由运动学可知，， 则

    系统具有理想约束且内力功之和恒等于零=主动力的功只有滚子的重力G2和力偶矩为M的力偶作功，它们所作的功的总和为

    根据质点系的动能定理，可得
　　　　

（1）

    解得

    将式（1）两端对t求一阶导数，得

    而 ，代入上式，可得滚子质心 的加速度
　 　

（2）

(2)取鼓轮（包括绳子）为研究对象，其受力图如图12-19b所示，应用刚体绕定轴转动微分方程求滚子对绳子的拉力。
根据刚体绕定轴转动微分方程，可得

    而

    故滚子对绳子的拉力

(3)

(3)仍以鼓轮（包括绳子）为研究对象，根据质心运动定理求轴承O处约束力。
因鼓轮质心的加速度为零，故由质心运动定理在x、y轴上的投影式可得

    将式（3）代入，解得

例12-8 如图12-20所示，均质杆AB重G，长l，在光滑水平面上从铅垂位置无初速地倒下，求当杆与铅垂线成60o角时的角速度、角加速度以及此瞬时A点的约束力。

图12-20

【解】

    AB杆在运动中只受重力和地面法向反力的作用。所有外力均为铅垂，即水平方向合力等于零，则质t在水平方向的运动守恒。初始瞬时杆静止，即vCx=0，质心的横坐标xC保持常数。因此在AB杆的平面运动中，质心是沿着铅垂线下落的。另一方面AB杆在运动中只有重力作功，可以应用动能定理求AB杆的运动。当已知AB杆的运动后，则可使用质心运动定理求解地面的约束力。

(1)取AB杆为研究对象，应用动能定理求AB杆的角速度和角加速度。
AB杆作平面运动速度瞬心位于P点。
系统初始瞬时的动能

系统终止瞬时的动能

    由于地面反力作功等于零，所以系统只有重力作功

根据动能定理可得

则

（1）

将φ=60o代入，得

（2）

将式（1）两端对时间t求一阶导数

    得角加速度

    将φ=60o代入，得

（3）

(2)应用质心运动定理求地面的约束力FN。
    为用已求得角速度ω和角加速度α来表示质心的加速度，需要应用运动学知识建立补充方程。以通过质心的铅垂线为y轴，原点O取在地面上，如图12-20所示。当AB杆与铅垂线夹角为φ时，质心的坐标为  ，将其对时间求两阶导数，得

    由质心运动定理

    得

    则

    其中

    将式（2）、式（3）代入，得

    地面的约束力FN也可用刚体平面运动微分方程中的最后一个式子求解。
由

    得

    当φ=60o时