理论力学基础-15.2拉格朗日方程
第二节 拉格朗日方程
由上节可知动力学普遍方程是不包含理想约束力的动力学方程组，这是它的优势所在，但是由于在虚位移计算中采用非独立的直角坐标，从而对确定的动力学系统所得到的方程一般不是最少的。本节所介绍;拉格朗日方程是动力学普遍方程的广义坐标形式，所得到的方程组中方程的个数最少。在推导拉格朗日方程之前首先证明两个恒等式：
(15-3)
(15-4)
式中n，N分别是质点系中质点的个数和质点系的广义坐标数。若质点系受到s=理想完整的约束则有N=3n-s； 
是第i个质点的位矢，它是广义坐标qi和时间t的函数，即
证明式（15-3）： 将 对时间求导得
(15-5)
式中广义坐标对时间的变化率 
称为广义速度，注意到 
和 
只是广义坐标和时间的函数，因此式(15-5)对第j个广义速度 取偏导数，便可证得式(15-3)。
证明式（15-4）： 将式(15-5)对某一广义坐标求偏导数，得
因为 
是广义坐标和时间的函数，将其对时间求导数，得
比较以上两式，其右端相同，故得
即式(15-4)得证。
下面推导拉格朗日方程。
将
两边取变分，得
代入动力学普遍方程式（15-1）得
交换上式的求和顺序，有
(15-6)
上式中，方括号内的第一项称为对应于广义坐标qj的广义主动力。
(15-7)
第二项称为对应于广义坐标qj的广义惯性力 
，即
将恒等式（15-3）和式（15-4）代入上式，有
（15-8）
上式中括号内是质点系的动能EK，所以式(15-8)可写成
(15-9)
将式(15-7)和式(15-9)代入式(15-6)后，有
如果系统只受完整约束，由虚位移的独立性，可得
（15-10）
这一组N个方程就是广义坐标形式的质点系运动微分方程，即拉格朗日方程，简称拉氏方程。
若为保守系统则作用于质点系的力是有势力，由式（12-39）知
代入式（4-7），有
即
（15-11）
将式(15-11)代入式(15-10)，则拉氏方程可改写为
(15-12)
现将动能与势能之差用L表示，即令
(15-13)
L称为拉格朗日函数。注意到势能只是广义坐标的函数，不含广义速度，即
，于是式（15-12）可写为
(15-14)
即
(15-15)
这就是质点系所受的力是有势力时的拉格朗日方程。
由式（15-10）可以看出，拉氏方程的数目和广义坐标的数目相等即与质点系的自由度相等。具体应用时只需计算系统的动能和广义力；对于保守系统，只需计算系统的动能和势能。因此，对于约束多而自由度少的动力学系统，应用拉氏方程求解要比用其他方法求解方便。下面举例说明。
例15-4 在水平面内运动的行星齿轮机构如图15-4所示。均质系杆OA的质量为m1，它可绕端点O转动，另一端装有质量为m2，半径为r的均质小齿轮，小齿轮沿半为R的固定大齿轮纯滚动。当系杆受力偶M的作用时，试求系杆的角加速度。
图15-4
【解】
机构具有一个自由度，选系杆的转角φ为广义坐标。设系杆对O轴的转动惯量为JO，小齿轮对其质心A的转动惯量为JA，小齿轮的绝对角速度为 
，则A点的速度为
小齿轮的角速度
系统的动能等于系杆的动能和小齿轮的动能之和，即
与广义坐标对应的广义力
将上两式代入拉氏方程
得
例15-5 椭圆摆由物块和摆锤用直杆铰连而成，如图15-5所示，物块可沿光滑水平面滑动，摆杆可在铅直面内摆动。设物块和摆锤的质量分别为m1，m2；摆杆长为l，质量不计。试建立系统的运动微分方程。
图15-5
【解】
物块作平动，摆锤尺寸不计，两者均可看作质点。系统具有两个自由度，以x1和φ为广义坐标，设摆锤的坐标为x2和y2，则
于是，可求得系统的动能
主动力只有重力，是有势力。以物块质心所在水平面为势能零位置，因而系统的势能为
将动能与势能的表达式1入式(15-13)，得拉格朗日函数
将其代入拉氏方程(15-15)，有
得
经运算整理后，得
这就是系统的运动微分方程。
例15-6 质量为m，长为l的均质杆AB可绕铰A在平面内摆动。A端用弹簧悬挂在铅垂的导槽内，如图15-6所示。弹簧刚度系数为k。试写出系统的运动微分方程.
图15-6
【解】
系统有两个自由度，以x和θ为广义坐标，其中x的原点为弹簧的原长处.，杆AB作平面运动其动能为
式中，Vc为杆质心C的速度；JC为杆对质心的转动惯量，若以A点为基点，则由图可知
"以
计算弹簧势能和重力势能时，以O点为共同的势能零点。
将动能与势能的表达式代入式(15-13)，得拉格朗日函数
将其代入拉氏方程(15-15)，有
即
计算整理后，可得系统的运动微分方程如下：
